Considerá las matrices:

$A = \begin{pmatrix} k & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ k & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}$

Calculá el valor de $k \in \mathbb{R} - \{0\}$ de manera tal que el determinante de $AB + A^2$ sea nulo.

La hipérbola $H$ es de la forma $\dfrac{x^2}{450} - \dfrac{y^2}{k} = 1$, con $k \in \mathbb{R} - \{0\}$, y sus focos son $F_1 = (-25,\ 0)$ y $F_2 = (25,\ 0)$. Indicá la única opción que muestra una hipérbola que tiene la misma excentricidad que $H$.

De todos los $z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ solución de:

$\bar{z}^4 = z^2(-2-2i)|z|$

calculá de manera exacta aquel que tenga el menor argumento y escribilo en forma polar.

Indicá el valor de $m \in \mathbb{R}$ para el cual el conjunto $\{(4,\ 1,\ 3);\ (7,\ m,\ 8);\ (-2,\ 6,\ 4)\}$ resulta linealmente dependiente.

Considerá $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ una transformación lineal cuya expresión es:

$T(x, y) = \left(\frac{x-y}{2},\ 2x,\ -\frac{y}{2}\right)$

y el subespacio $S = \{X \in \mathbb{R}^3 : x - z = 0;\ y = 0\}$. Indicá la única opción que muestra la preimagen de $S$ por $T$, es decir, $T^{-1}(S)$.

Considerá el polinomio $P(x) = x^5 + 5x^3 - 8x^2 + k$, donde $\sqrt{5}\,i$ es raíz de $P(x)$. Indicá la única opción que muestra la expresión factorizada en $\mathbb{C}[x]$ de $P(x)$.

Considerá $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ dos vectores de $\mathbb{R}^2$ que cumplen las siguientes condiciones: $\vec{v}_2$ se encuentra en el cuarto cuadrante y es ortogonal a $\vec{v}_1$; la norma de $\vec{v}_1$ es $3\sqrt{2}$ y tiene sus coordenadas positivas; $\vec{v}_2$ tiene sus coordenadas tales que $\|\vec{v}_2\| = 5$ y $\vec{v}_2 \cdot (2;\ 0) = 8$.

Si $\vec{v}_1 = (x_1;\ x_2)$, calculá $2x_1 + x_2$.

Considerá el plano $\pi$ de ecuación $2x + 3y - z = 1$ y el punto $A = (-3;\ -7;\ 0)$. Si $A'$ es el simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$, elegí la opción que muestra la distancia de $A$ hasta $A'$.