Considerá las matrices

$A = \begin{pmatrix} k & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ k & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Calculá el valor de $k \in \mathbb{R} - \{0\}$ de manera tal que $\det(A^2 + AB) = 0$.

La hipérbola $H$ es de la forma $\dfrac{y^2}{153} - \dfrac{x^2}{k} = 1$ con $k \in \mathbb{R} - \{0\}$ y sus focos son $F_1 = (0;\ -17)$ y $F_2 = (0;\ 17)$. Indicá la única opción que muestra una hipérbola que tiene la misma excentricidad que $H$.

De todos los $z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ solución de $-2\overline{z}^5 = z^3(4+4i)|z|$, calculá de manera exacta, en su forma polar, aquel que tenga el menor argumento.

Indicá el valor de $m \in \mathbb{R}$ para el cual el conjunto $\{(3,\ 4,\ -4);\ (9,\ 4,\ m);\ (1,\ 1,\ -3)\}$ resulta linealmente dependiente.

Considerá el polinomio $Q(x) = x^5 + 7x^3 - 64x^2 + k$, donde una raíz de $Q(x)$ es $\sqrt{7}i$. Indicá la única opción que muestra la expresión factorizada en $\mathbb{C}[x]$ de $Q(x)$.

Considerá $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ dos vectores de $\mathbb{R}^2$ que cumplen las siguientes condiciones: $\vec{v}_1$ se encuentra en el cuarto cuadrante y es ortogonal a $\vec{v}_2$; la norma de $\vec{v}_2$ es $3\sqrt{2}$ y tiene coordenadas positivas; $\vec{v}_1$ tiene coordenadas tales que $\|\vec{v}_1\| = 5$ y $\vec{v}_1 \cdot (2;\ 0) = 8$.

Calculá el producto escalar entre $\vec{v}_2$ y $(4;\ 2)$.

Considerá el plano $\pi$ de ecuación $3x + 2y - z = 9$ y el punto $A = (5;\ 4;\ 0)$. Si $A'$ es el simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$, elegí la opción que muestra la distancia de $A$ hasta $A'$.

Considerá $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ una transformación lineal cuya expresión es $T(x, y) = \left(\dfrac{x-y}{2},\ \dfrac{x}{2},\ -\dfrac{y}{2}\right)$ y sea el subespacio $S = \{X \in \mathbb{R}^3 : x - y = 0;\ z = 0\}$. Indicá la única opción que muestra la preimagen de $S$ por $T$, es decir, $T^{-1}(S)$.