Dados $\vec{v}$ y $\vec{w}$ dos vectores de $\mathbb{R}^3$ tales que $\vec{v} = (0;\ 2;\ 4)$ y $\vec{w} = (-2;\ 2;\ 0)$. Seleccioná el valor de $m \in \mathbb{Z}$ para que los vectores $\vec{z}_1 = \vec{v} - \vec{w}$ y $\vec{z}_2 = m\vec{w} - \vec{v}$ sean ortogonales.

Calculá de manera exacta la amplitud del ángulo que forman los planos de ecuación:

$\pi_1: 4x + 4y + 2z = 7 \qquad \pi_2: -2x - 2z + 1 = 0$

Seleccioná el valor exacto del ángulo:

Considerá el subespacio $S = \langle (5;\ 5;\ -1;\ 0),\ (10;\ 13;\ -2;\ 0),\ (0;\ 3;\ 0;\ 0),\ \vec{v} \rangle$. Indicá la única afirmación que resulta verdadera.

Considerá $V$ el vértice de la parábola

$y^2 - 6y - 8x + 41 = 0$

y $C$ el centro de la hipérbola

$\frac{(x+2)^2}{12} - \frac{(y-5)^2}{14} = 1$

Seleccioná el valor exacto del radio de la circunferencia con centro en $C$ que pasa por $V$:

Considerá la matriz

$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2-k \\ 4-k & 3 & -3 \\ 4 & -k & 2 \end{pmatrix}$

Seleccioná la opción que muestra todos los valores de $k \in \mathbb{R}$ de manera tal que la matriz no sea invertible.

Indicá el valor de $k \in \mathbb{R}$ de modo que, al aplicar una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj de ángulo $\frac{\pi}{4}$ a $(-\sqrt{2};\ -\sqrt{2})$, se obtenga como imagen $(0;\ k)$:

Seleccioná la opción que ofrece la mejor aproximación a los centésimos del argumento de $(1 + 3i)^7$.

Considerá el polinomio

$A(x) = x^5 + 7x^3 - 64x^2 + k$

del cual se sabe que $A(\sqrt{7}\,i) = 0$. Calculá el valor exacto de la suma de todas las raíces de $A(x)$: