Dados $\vec{v}$ y $\vec{w}$ dos vectores de $\mathbb{R}^3$ tales que $\vec{v} = (2;\ 0;\ 4)$ y $\vec{w} = (2;\ -2;\ 0)$. Elegí la opción que muestra el valor de $m \in \mathbb{Z}$ para que se cumpla que los vectores $\vec{z}_1 = \vec{v} - \vec{w}$ y $\vec{z}_2 = m\vec{w} - \vec{v}$ sean ortogonales.

Calculá de manera exacta la amplitud del ángulo que forman los planos de ecuación:

$\pi_1: -2x - 2y - z = 9 \qquad \pi_2: 2y + 2z = -5$

Elegí la opción correcta.

Considerá el subespacio $S = \langle (4;\ 1;\ -1;\ 0);\ (8;\ -3;\ -2;\ 0);\ (0;\ 5;\ 0;\ 0);\ \vec{v} \rangle$. Indicá la única afirmación que resulta verdadera.

Considerá $V$ al vértice de la parábola $x^2 + 4x - 20y + 64 = 0$, y $C$ al centro de la hipérbola:

$\dfrac{(x-3)^2}{7} - \dfrac{(y-4)^2}{18} = 1$

Determiná el valor exacto del radio de la circunferencia con centro en $C$ que pasa por $V$.

Considerá la matriz:

$B = \begin{pmatrix} 1-k & 3 & 2 \\ 0 & 2+k & 1 \\ 0 & -1 & 2-k \end{pmatrix}$

Elegí la opción que muestra todos los valores de $k \in \mathbb{R}$ de manera tal que la matriz no sea invertible.

Indicá el valor de $k \in \mathbb{R}$ de modo que al aplicar una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj de ángulo $\dfrac{\pi}{4}$ a $(-3\sqrt{2};\ \sqrt{2})$ se obtenga como imagen $(k;\ -2)$.

Elegí la opción que ofrece la mejor aproximación a los centésimos del argumento de $(3 + i)^5$.

Considerá el polinomio $B(x) = x^5 + 5x^3 - 8x^2 + k$, del cual se sabe que $B(\sqrt{5}\,i) = 0$. Calculá el valor exacto de la suma de todas las raíces de $B(x)$.