Considerá los vectores de $\mathbb{R}^2$, $\vec{v} = (\sqrt{2};\ \sqrt{2})$, $\vec{w}$, $\vec{u}$ y $k$ un número real. Se sabe que $\vec{w}$ es el opuesto de $\vec{v}$ y que $\vec{u} = \frac{1}{2} \cdot \vec{v}$. Indicá el valor que debe tomar $k$ para que se verifique la siguiente igualdad:

$\|4 \cdot (\vec{w} + \vec{u}) - 2 \cdot \vec{v}\| + \|\vec{v}\| = k \cdot \|-8 \cdot \vec{v}\|$

Calculá la distancia entre el plano $\pi$ de ecuación $-8x - 6y - 24z = 2$ y el punto de coordenadas $A = (6;\ 4;\ 11)$.

Considerá los subespacios $S = \{(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) \in \mathbb{R}^5 : x_1 + x_3 - x_5 = 0;\ -2x_1 + 2x_5 = 0\}$ y $T = \langle(-5, 5, 0, 5, -5);\ (1, 0, 0, 1, 0)\rangle$. Indicá cuál es la única afirmación cierta.

Una elipse tiene ecuación $x^2 + ky^2 - 16x = 0$ con $k \in \mathbb{R} - \{0\}$ y uno de sus focos es $F_1 = \left(8 + \sqrt{\dfrac{128}{3}},\ 0\right)$. Determiná el valor de $k$.

Considerá el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} 3x + y + mz = 1 \\ x - y + 2z = -2 \\ 5x + (m+1)y + 2z = 4 \end{cases}$

Elegí la opción que indica el valor de $m \in \mathbb{R}$ de manera tal que el sistema sea compatible indeterminado.

Considerá las transformaciones lineales $T_1$ y $T_2$ cuyas matrices asociadas son:

$M_{T_1} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad M_{T_2} = \begin{pmatrix} 2 & -6 & 3 \\ 1 & 0 & p \end{pmatrix}$

con $p \in \mathbb{R}$. Indicá el valor de $p$ para que la transformación lineal $T_2 \circ T_1$ no sea isomorfismo.

Si $z = (2 + 3i)^6$, elegí la opción que corresponde a un número complejo que se ubique en el mismo cuadrante en que se encuentra $z$.

$A(x) \in \mathbb{R}[x]$ es un polinomio de grado mínimo que tiene como raíces a $z_1$, $z_2$ y $z_3$.

Si $(2 + 2i) \cdot z_1 = -7 - 7i$; $z_2 = (3 - i)^2$ y $z_3 = -10$ es raíz doble, calculá el valor exacto de la suma de todas las raíces distintas de $A(x)$.