Considerá dos vectores $\vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^2$ tales que $\vec{v} = (3;\ 4)$, el ángulo entre $\vec{v}$ y $\vec{w}$ es $\frac{\pi}{3}$, y $\vec{v}$ es ortogonal a $[\vec{w} + (1;\ -3)]$. Calculá el valor exacto de $\|\vec{w}\|$.

Considerá las ecuaciones de los planos $\pi_1 : 2x + \frac{1}{2}y + 5z = -4$ y $\pi_2 : x - 4y = 1$, y los puntos $A = (-1;\ 2;\ 1)$ y $B = (5;\ 3;\ -1)$. Indicá cuál es la única afirmación que resulta verdadera.

Considerá los subespacios:

$S = \langle (1;1;0;6), (0;0;4;2), (1;1;-8;2) \rangle$

$T = \langle (1;4;1;0), (-m;1;0;4m), (7m;35;-14;-52) \rangle$

Averiguá el valor que debe tomar $m \in \mathbb{R}$ para que se cumpla que $\dim(S) = \dim(T)$.

Considerá la elipse $E$ de focos $F_1 = (-7;\ 9)$ y $F_2 = (-7;\ 1)$ y excentricidad $e = \frac{8}{10}$. Elegí la única opción que resulta verdadera.

Considerá las matrices $A, B \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ tales que

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \\ 4 & 1 & 7 \end{pmatrix}$

y $\det\!\left(\frac{1}{3}A \cdot B^{-1}\right) = 10$. Calculá el valor exacto de $\det(B)$.

$T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ es una transformación lineal que resulta de componer una homotecia de factor $\frac{1}{2}$, seguida de una rotación en sentido antihorario de ángulo $\frac{\pi}{4}$. Elegí la opción que muestra el resultado de $T(1;\ -1)$.

Calculá de manera exacta el módulo del número complejo

$\frac{(2+3i)^4}{-5i} + (2-3i)^2 \cdot (1-i)$

Considerá el polinomio $P(x) = x^5 - 4x^3 - 8x^2 + 32$. Indicá cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta.