Considerá las matrices

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 0 & k-3 & \dfrac{1}{3}k-1 \\ 0 & 3 & k^2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B \in \mathbb{R}^{3 \times 1}$

Determiná para qué valores de $k \in \mathbb{R}$ el sistema $A \cdot X = B$ resulta compatible determinado.

Considerá la transformación lineal $g : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ cuya matriz asociada es

$M = \begin{pmatrix} -k & 5 & 1 \\ 1 & 2k-4 & 1 \\ 1 & 5 & 4 \end{pmatrix}$

Calculá el único valor de $k \in \mathbb{N}$ para el cual $g$ no resulta un isomorfismo.

Considerá los complejos $u = -1 + i$ y $v = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$. Elegí la única opción que muestra la forma polar del complejo $w = (\overline{u})^5 \cdot v^7$.

Considerá los polinomios $P(x) = 6x \cdot (x + 1)$ y $Q(x) = -6 + 5 \cdot \left(x - \dfrac{x^3}{5}\right)$. Indicá el valor que debe tomar $a \in \mathbb{R}$ para que se cumpla que $P(a) = Q(a)$.

Considerá tres vectores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^3$ tales que $\vec{u} = (3;\ 0;\ -4)$, $\vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \left(-\dfrac{2}{5}\right) \cdot \vec{u}$, y $\vec{w} = \vec{v} \times (1;\ -1;\ 1)$. Indicá cuál es la única afirmación falsa respecto de estos vectores.

Calculá el valor de $k \in \mathbb{R}$ para que el plano de $\mathbb{R}^3$ definido por $\pi : -2x + ky + z = 1$ resulte paralelo a la recta de ecuación

$L : \begin{cases} x - y = 0 \\ x + y - 2z = 4 \end{cases}$

Considerá los subespacios $S = \{(x_1;\ x_2;\ x_3) \in \mathbb{R}^3 : -3x_1 + 6x_3 = 0\}$ y

$T = \left\langle (-7;\ -8;\ 14),\ \left(-\dfrac{8}{5};\ \dfrac{8}{5};\ \dfrac{16}{5}\right) \right\rangle$

Indicá cuál de las siguientes afirmaciones es la única correcta.

Considerá la hipérbola $H$ de focos $F_1 = (8;\ 1)$ y $F_2 = (-2;\ 1)$ y excentricidad $e = \dfrac{10}{6}$. Seleccioná la ecuación de una asíntota de $H$ con pendiente positiva.