Considerá el subspacio $S = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4 : 2x_2 + x_3 + x_4 = 0\}$. Elegí la opción que muestra la cantidad de vectores de una base de $S$.

Considerá los vectores $\vec{v} = (1, 2, -3)$ y $\vec{w} = (-3, 1, -2)$. Elegí la opción que muestra una combinación lineal de $\vec{v}$ y $\vec{w}$.

Elegí la única opción que muestra el valor de la excentricidad de la elipse de ecuación $C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 4x^2 + 16y^2 - 8x - 96y + 84 = 0\}$

Las asíntotas de cierta hipérbola se cortan en el punto de coordenadas $C = (3, -1)$, se sabe además que uno de sus vértices es $V = (1, -1)$, y que la medida del eje focal es $6$. Elegí la única opción que muestra la ecuación de esta hipérbola.

Considerá los vectores $\vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^3$ tales que se verifican las siguientes condiciones: $\vec{v} \cdot \vec{w} = -1$, la norma de $\vec{v}$ es $\frac{3}{4}$ y $\vec{w} = \left(-\frac{5}{9}, 0, \frac{4}{3}\right)$. Elegí la única opción que muestra el valor de $\cos(\alpha)$ si $\alpha$ es el ángulo determinado por los vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$.

Si al vector $(2, -1, 0)$ se le aplica una dilatación de escalar $\beta$ y luego una traslación de vector $\vec{u}$ se obtiene el vector $(-5, 3, -1)$. Si al vector $(-3, 0, 1)$ se le aplica una dilatación de escalar $\beta$ y luego una traslación de vector $\vec{u}$ se obtiene el vector $(5, 1, -3)$. Elegí la única opción que indica el valor del escalar $\beta$ y las coordenadas del vector $\vec{u}$.

Indicá la única opción que muestra la distancia entre el plano de ecuación $-4x + 7y - 4z = 1$ y el punto $P = (1, 1, 1)$.

Considerá el plano $\Pi = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 2x - 5y + z = 0\}$ y el punto $P = (k, k + 8, k^2)$ donde $k \in \mathbb{R}$. Indicá la opción que muestra todos los valores de $k$ para los cuales $P \in \Pi$.