El producto escalar entre el vector unitario $\vec{v}$ de $\mathbb{R}^3$ y $\vec{w} = (1;\,-2;\,3)$ es 3. Indicá cuál es la única opción que muestra el valor exacto del coseno del ángulo $\alpha$ que forman $\vec{w}$ y $\vec{v}$.

Si se le aplica una traslación $T$ al vector $(2;\,-2;\,1)$ se obtiene el vector $(-1;\,-1;\,2)$. Si al vector $(-3;\,1;\,-2)$ se le aplica la misma traslación $T$ se obtiene el vector $\vec{w}$. Elegí la opción que muestra las coordenadas de un vector $\vec{v}$ que es ortogonal al vector $\vec{w}$.

Considerá las rectas de ecuación:

$r_1 : (x;\,y;\,z) = \alpha \cdot (1;\,0;\,-1) + (-4;\,5;\,1),\quad \alpha \in \mathbb{R}$

$r_2 : (x;\,y;\,z) = \beta \cdot (1;\,-1;\,0) + (-1;\,-2;\,3),\quad \beta \in \mathbb{R}$

Elegí la opción que muestra la amplitud del ángulo entre dichas rectas.

Elegí la opción que muestra el simétrico del punto $(1;\,3;\,1)$ con respecto al plano de ecuación $2x - 4y + 2z - 4 = 0$.

Considerá el vector $\vec{v} = (a;\,-a;\,-47)$ y un subespacio $S \subset \mathbb{R}^3$. Una base para $S$ es el conjunto de vectores $\{(-50;\,15;\,116);\,(1;\,0;\,-6)\}$. Elegí la única opción que muestra todos los valores de $a \in \mathbb{R}$ para los cuales se cumple que $\vec{v} \in S$.

Sea $H \subset \mathbb{R}^4$ el subespacio definido por $\{(x_1;\,x_2;\,x_3;\,x_4) \in \mathbb{R}^4 : x_1 + 9x_2 = 0\}$. Indicá la opción que muestra un conjunto de generadores de $H$.

Indicá cuál de las siguientes expresiones describe el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos $F_1 = (2;\,1)$ y $F_2 = (2;\,-9)$ es igual a 16.

La parábola $P$ tiene vértice $V = (1;\,4)$ y foco $F = (-5;\,4)$. Seleccioná la única opción que contiene su expresión canónica y la ecuación de su directriz.