El producto escalar entre el vector que cumple $\|\vec{v}\| = 2$ de $\mathbb{R}^3$ y $\vec{w} = (-2,\ 1,\ 3)$ es 6. Indicá cuál es la única opción que muestra el valor exacto del coseno del ángulo $\alpha$ que forman $\vec{w}$ y $\vec{v}$.

Si se le aplica una traslación $T$ al vector $(1;\ -2;\ 1)$ se obtiene el vector $(-1;\ -3;\ 0)$. Si al vector $(3;\ -2;\ 2)$ se le aplica la misma traslación $T$ se obtiene el vector $\vec{w}$. Elegí la opción que muestra las coordenadas de un vector $\vec{v}$ que es ortogonal al vector $\vec{w}$.

Considerá las rectas de ecuación:

$r_1: (x;\ y;\ z) = \alpha \cdot (-1;\ -1;\ 0) + (-2;\ 1;\ -1), \quad \alpha \in \mathbb{R}$

$r_2: (x;\ y;\ z) = \beta \cdot (2;\ 0;\ 2) + (1;\ -4;\ 7), \quad \beta \in \mathbb{R}$

Elegí la opción que muestra la amplitud del ángulo entre dichas rectas.

Elegí la opción que muestra el simétrico del punto $(3;\ -1;\ 3)$ con respecto al plano de ecuación $-x + 2y - z = 4$.

Considerá el vector $\vec{v} = (-b;\ b;\ -8)$ y un subespacio $S \subset \mathbb{R}^3$. Una base para $S$ es el conjunto de vectores $\{(-50;\ 15;\ 116);\ (1;\ 0;\ -4)\}$. Elegí la única opción que muestra todos los valores de $b \in \mathbb{R}$ para los cuales se cumple que $\vec{v} \in S$.

$H \subset \mathbb{R}^4$ es un subespacio que se describe como $\{(x_1;\ x_2;\ x_3;\ x_4) \in \mathbb{R}^4 : x_1 - 8x_2 = 0\}$. Indicá la opción que muestra un conjunto de generadores de $H$.

Indicá cuál de las siguientes expresiones describe el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos $F_1 = (2;\ 1)$ y $F_2 = (2;\ -11)$ es igual a 14.

La parábola $P$ tiene vértice $V = (1;\ 5)$ y foco $F = (-7;\ 5)$. Seleccioná la única opción que contiene su expresión canónica y la ecuación de su directriz.