Considerá la siguiente matriz:

$M = \begin{pmatrix} 0 & k & -k \\ k & 3 & 0 \\ 1 & 0 & k \end{pmatrix}$

Elegí la única opción que indica el/los valores de $k$ para el/los cual/es la matriz admite inversa.

El vector $(m;\ n;\ m;\ 0)$ con $m, n \in \mathbb{R}$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 - x_4 = 7 \\ -x_1 + 2x_2 - x_3 = -8 \\ 2x_1 + x_2 + x_4 = 5 \\ x_2 + x_3 + 2x_4 = 2 \end{cases}$

Elegí la única opción que indica los valores reales de $m$ y de $n$.

Considerá las transformaciones lineales $T(x;y) = (x + 4y;\ ax + by)$ y $S(x;y) = (x + y;\ x - y)$. Se sabe además que $T \circ S(x;y) = (5x - 3y;\ 3x - y)$. Elegí la opción que contiene la expresión funcional de la transformación $T^{-1}$.

$S_1 : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ es una homotecia de factor 2 en la dirección $x$.

$S_2$ es una rotación de $\mathbb{R}^3$ de ángulo $\dfrac{\pi}{4}$ en sentido contrario a las agujas del reloj respecto del eje $x$.

Indicá cuál es la expresión matricial de la transformación lineal $S_1 \circ S_2$.

Se sabe que $z$ es un número complejo distinto de cero que cumple la ecuación

$z \cdot \operatorname{Re}(z) + (-3 - 3\sqrt{2}\,i) \cdot z^2 = -z$

Indicá el valor que muestra el módulo de $z$.

El número complejo $w$ coincide en argumento con $z$ y tiene el mismo módulo que $u$.

Si $z = (-1 + \sqrt{3}\,i)^4$ y $u = \dfrac{\overline{-6 + 8i} \cdot i^{24}}{-3 \cdot (3 - 4i)}$, indicá la opción que muestra la forma binómica de $w$.

Considerá los polinomios $A(x) = x^4 + 3x^3 + 14x^2 + 50x - 51$ y $B(x) = x^2 + a$, donde $a \in \mathbb{R}$. Se sabe que $-4i$ es raíz de $B(x)$. Indicá la única opción que muestra el resto de la división de $A(x)$ por $B(x)$.

Considerá el polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 + 9x^2 - 6x + 18$. Se sabe que $1 - \sqrt{5}\,i$ es raíz del polinomio. Indicá cuál es la opción que muestra todas las raíces complejas de $P(x)$.