Primer Parcial Álgebra 1C 2023 Tema 3

Question 1

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \ m & 1 & 0 \end{pmatrix}$$, $$B = A.A^t$$, $$C = \begin{pmatrix} 1 & -2 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ con $m \in \mathbb{R}$. Hallar los valores del parámetro m para que la matriz B sea inversible.

Accepted Answer

Para todo $m \in \mathbb{R}$

Question 2

Para $m = 1$, calcular la inversa de B.

Accepted Answer

$$B^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{9} & -\frac{1}{9} \ -\frac{1}{9} & \frac{5}{9} \end{pmatrix}$$

Question 3

Para $m = 1$, resolver la ecuación matricial $B^t.X + 9C = N$, siendo $N$ la matriz Nula.

Accepted Answer

$$X = \begin{pmatrix} -1 & 4 \ -4 & -2 \end{pmatrix}$$

Question 4

Hallar la ecuación del plano $\pi$ que pasa por $P = (2; -1; 3)$ y es paralelo al plano $2x + 3y - z + 4 = 0$.

Accepted Answer

$2x + 3y - z + 2 = 0$

Question 5

Hallar la ecuación vectorial de la recta perpendicular al plano $2x + z = 2y + 5$ que pasa por el punto $P = (2; 1; 0)$.

Accepted Answer

$(x; y; z) = (2; 1; 0) + \lambda(2; -2; 1)$

Question 6

Dado el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x - my - 2z = m \ x + y + z = 2m \ x + 2y + mz = 3m \end{cases}$$ Determinar los valores del parámetro $m \in \mathbb{R}$, para que el sistema admita solución única, infinitas soluciones y no admita solución.

Accepted Answer

Solución única: $m 
eq -2$ y $m 
eq 2$; No admite solución: $m = -2$ y $m = 2$; Infinitas soluciones: ningún valor de m

Question 7

La matriz B solución del siguiente sistema de ecuaciones matriciales $\begin{cases} A + B = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \\ 2A - B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \end{cases}$ es:

Accepted Answer

$$B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Question 8

¿Para qué conjunto de valores de $m \in \mathbb{R}$, el rango de A es 3, siendo $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \ -1 & m & m-2 \ m & 0 & 2 \end{pmatrix}$$?

Accepted Answer

$\mathbb{R} - \{\frac{1}{2}, 1\}$

Question 9

Sabiendo que $$|A| = \begin{vmatrix} m & n & p \ q & r & s \ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 5$$, los determinantes $$|B| = \begin{vmatrix} 3m+2 & 3n+1 & 3p+3 \ 2 & 1 & 3 \ q & r & s \end{vmatrix}$$ y $$|C| = \left|\frac{1}{5}A^{-1}.A^2ight|$$ son iguales a:

Accepted Answer

$|B| = -15$ $|C| = \frac{1}{25}$

Question 10

Un cajero automático contiene sólo billetes de 100, 200 y 500 pesos. En total hay 130 billetes con un importe de 30.000. suponiendo que el número de billetes de 100 es el triple que el número de billetes de 500, ¿Es posible que en el cajero exista esa combinación de billetes?

Accepted Answer

No es posible, es un sistema incompatible.

Question 11

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} 1 & x \ x & 0 \end{pmatrix}$$, $$C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ el valor de x que verifican que $B+C = A^{-1}$ es:

Accepted Answer

$x = 0$

Question 12

Sea el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x + z = 2 \ -x + y + 2z = 0 \ -x + 2y + 5z = 2 \end{cases}$$ entonces el conjunto solución del sistema es:

Accepted Answer

$\{(x, y, z)/x = 2 - z, y = 2 - 3z, z \in \mathbb{R}\}$

Question 13

En una economía hipotética de dos industrias A y B la matriz de insumo producto viene dada por la siguiente tabla:

ABDFPT
A531220
B109524
VA512---
PT2024---44

Si la demanda final se modifica a: $$DF = \begin{pmatrix} 26 \ 39 \end{pmatrix}$$ el nuevo vector producción es:

Accepted Answer

$$X = \begin{pmatrix} 52 \ 104 \end{pmatrix}$$

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10