Considerando la siguiente definición formal:

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función continua en el intervalo $[a, b]$. Si $f(a) \cdot f(b) < 0$, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Este enunciado corresponde al Teorema de Bolzano (caso particular del Teorema del Valor Intermedio). Sus hipótesis son:

• $f$ debe ser continua en $[a, b]$
• $f(a)$ y $f(b)$ deben tener el mismo signo signos opuestos
• No se requiere que $f$ sea derivable

¿Cuál de las siguientes opciones expresa correctamente la hipótesis del teorema?

Dada la siguiente tabla de valores:

Y considerando que:

1. La función es continua en $[0, 3]$
2. La función es diferenciable en $(0, 3)$
3. Se cumple el Teorema de Rolle Teorema del Valor Medio

$\exists\, c \in (0,3) : f'(c) = \frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3}$

¿En qué intervalo se encuentra el valor $c$ que satisface el TVM?

Observe el siguiente diagrama:

En la imagen se muestran dos conjuntos señalados como A y B que contienen elementos agrupados. Si definimos $A$ y $B$ como conjuntos finitos donde $|A \cap B| > 0$, ¿cuál de las siguientes expresiones representa correctamente la cardinalidad de la unión?

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Analice el siguiente algoritmo de ordenamiento:

def mystery_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        min_idx = i
        for j in range(i + 1, n):
            if arr[j] < arr[min_idx]:
                min_idx = j
        arr[i], arr[min_idx] = arr[min_idx], arr[i]
    return arr

resultado = mystery_sort([64, 25, 12, 22, 11])
print(resultado)

¿Cuál es la salida del programa y qué algoritmo implementa?

Considere la siguiente implementación que combina recursión con funciones de orden superior:

def transform(data, predicate, mapper):
    if not data:
        return []
    
    head, *tail = data
    rest = transform(tail, predicate, mapper)
    
    if predicate(head):
        return [mapper(head)] + rest
    return rest

numeros = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
result = transform(
    numeros,
    lambda x: x % 2 == 0,
    lambda x: x ** 2
)
print(result)

La función transform recibe:

• data: lista de elementos
• predicate: función que devuelve True/False
• mapper: función de transformación

¿Qué imprime este programa?

Retomando el Teorema de Bolzano del Ejercicio 1, si una función continua cambia de signo en un intervalo, ¿qué método numérico aprovecha directamente esta propiedad para encontrar raíces?

Aplicando Bolzano a la tabla del Ejercicio 1, ¿cuántas veces como mínimo la función cruza el eje $x$ en $[0, 3]$?

$f(0) = 1 > 0 \quad\text{y}\quad f(1) = -1 < 0$

Usando la función transform del Ejercicio 2, ¿cuál es el resultado de ejecutar lo siguiente?

result = transform(
    [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6],
    lambda x: x > 3,
    lambda x: x * 10
)
print(result)

Si quisiéramos implementar el método de bisección en Python usando un enfoque funcional similar a transform, la cantidad de iteraciones necesarias para encontrar una raíz con tolerancia $\epsilon$ en $[a, b]$ es:

$n = \left\lceil \log_2\left(\frac{b - a}{\epsilon}\right) \right\rceil$

¿Cuál es la complejidad temporal del método?

Sostiene que el derecho es un conjunto de normas emanadas del Estado, y que su validez depende de un procedimiento formal, no de su contenido moral.

Plantea que los individuos ceden parte de su libertad natural a un soberano o cuerpo político, mediante un pacto fundante, para garantizar el orden y la convivencia.

Propone que existen principios de justicia universales, anteriores y superiores a cualquier legislación positiva, que derivan de la naturaleza humana o de la razón.

Analiza el derecho como instrumento de dominación de clase, sosteniendo que la estructura jurídica refleja y reproduce las relaciones de producción.

Afirma que una norma debe evaluarse por las consecuencias que produce: será justa en la medida en que maximice el bienestar general del mayor número de personas.

Considerando la siguiente definición:

"El Estado es aquella comunidad humana que, dentro de un determinado territorio, reclama para sí el monopolio de la violencia física legítima."

Indicá a qué autor corresponde.

Considerando la siguiente definición:

"El hombre es un lobo para el hombre. En el estado de naturaleza existe una guerra de todos contra todos."

Indicá a qué autor corresponde.

Considerando la siguiente definición:

"La historia de todas las sociedades hasta nuestros días es la historia de la lucha de clases."

Indicá a qué autor corresponde.

Considerando la siguiente definición:

"El estado de naturaleza tiene una ley que lo gobierna y que obliga a todos: la razón. Nadie debe dañar a otro en su vida, salud, libertad o posesiones."

Indicá a qué autor corresponde.